Python曲线拟合(polyfit,curve_fit,interp1d插值)详解与实例

np.polyfit 多项式拟合

在Python的数值计算工具箱里，numpy.polyfit 算得上是最常用的多项式拟合方法之一。它的底层原理是最小二乘法，但有一个细节需要注意：当拟合条件很差时，它会抛出一个 RankWarning——这是提醒你数据可能不太适合多项式拟合，或者阶数选得过高。

下面直接看两个例子，看看怎么对散点做多项式拟合，并且把拟合函数和图形一起打印出来。

例1

先导入必要的库，然后生成一组带噪声的余弦数据。这里用 np.random.seed(46) 固定随机种子，保证结果可复现。接着用 np.polyfit(x, y, 4) 拟合一个4次多项式，再用 np.poly1d 构造出多项式对象，最后绘制原始点和拟合曲线。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(46)
x = np.linspace(0, 1, 25)
y = np.cos(x) + 0.3 * np.random.rand(25)
p = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 4))
t = np.linspace(0, 1, 250)
plt.plot(x, y, 'o', t, p(t), '-')
plt.show()

例2

这个例子则更“干净”——数据本身是由一个三次多项式加上一些扰动生成的。我们用 np.polyfit(x, y, 4) 拟合一个4次多项式，看看它如何逼近真实的三次结构。注意这里 func 得到的是系数数组，然后用 np.poly1d 转换成函数对象，最后在更密的网格上绘图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(12)
x = np.linspace(-20, 20, 10)
y = 3.6 * pow(x, 3) + 8.3 * pow(x, 2) + 5.1 * pow(x, 1) + 5
func = np.polyfit(x, y, 4)
xn = np.linspace(-20, 20, 1000)
yn = np.poly1d(func)
plt.plot(xn, yn(xn), x, y, 'o')
plt.show()

curve_fit() 自定义函数拟合

多项式拟合虽然方便，但现实中很多数据并不符合多项式形态。这时候就需要 scipy.optimize.curve_fit 出场了——它允许你任意定义拟合函数的形式，只要把表达式写出来，它就能帮你估算出参数。换句话说，你想拟合什么函数都行，比如幂函数、指数函数，甚至更复杂的双曲函数。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

# 三次函数，和前面 polyfit 意思一样
def func_poly_3(x, a, b, c, d):
    return a*x*x*x + b*x*x + c*x + d

# 幂函数
def func_power(x, a, b):
    return x**a + b

# 指数函数
def func_exp(x, a, b):
    return a**x + b

# 双曲函数（比如油气工程中常用的递减曲线）
def Hyperb(x, a1, a2, qi):
    y = qi / np.power(1 + a1 * a2 * x, 1 / a2)
    return y

# 实际数据（xdata, ydata 为长列表，此处省略中间展示）
# 用 curve_fit 拟合三次函数
popt, pcov = curve_fit(func_poly_3, xdata, ydata, method='lm', maxfev=8866)

plot1 = plt.plot(np.array(xdata), ydata, 'r*', label='original values')
plot2 = plt.plot(np.array(xdata), [func_poly_3(i, *popt) for i in xdata], 'b', label='curvefit values')
plt.show()

scipy.interpolate.interpnd 插值拟合

前面两种方法都需要你先知道待拟合的函数形式——要么是多项式，要么是自定义表达式。但如果数据点很多，你又不想（或不能）提前假设函数形式，该怎么办？这时候插值就派上用场了。

scipy.interpolate 模块提供了丰富的插值工具：interp1d 用于一维插值，interp2d 用于二维，interpnd 用于多维。这里只演示一维插值，它支持多种插值方法，比如线性、最近邻、三次样条等。

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib.pyplot as plt

# 同样使用前面 xdata, ydata
# method: 插值方法，可选 'linear', 'nearest', 'cubic'
# 'linear' 分段线性，'nearest' 最近邻，'cubic' 三次样条
func = interp1d(xdata, ydata, kind='cubic')
x_new = np.linspace(start=min(xdata), stop=max(xdata), num=10)
y_new = func(x_new)
plot1 = plt.plot(xdata, ydata, 'r', label='original values')
plt.scatter(x_new, y_new)  # 此时得到的即为平滑曲线上的点
plt.show()

总结

从多项式拟合到自定义函数拟合，再到无需函数形式的插值，Python 的曲线拟合工具链非常完整。实际应用中，关键是根据数据特征和物理背景选择合适的方法：如果数据形态简单且已知阶数，用 polyfit 最直接；如果数据符合某种理论模型，用 curve_fit 自定义函数；如果只想平滑地通过所有点，插值是最省心的选择。