Python数学建模的实例分析

SciPy 学习

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SciPy 包含的模块有最优化、线性代数、积分、插值、特殊函数、快速傅里叶变换、
信号处理和图像处理、常微分方程求解和其他科学与工程中常用的计算。
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# 安装scipy库：
# SciPy终端安装命令：pip install SciPy
# https://www.runoob.com/w3cnote/python-pip-install-usage.html  Python pip 安装与使用
# 查看scipy版本：
import scipy
print(scipy.__version__)
# SciPy模块功能表
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模块              功能
scipy.cluster   聚类分析等
scipy.constants 物理和数学函数
scipy.fftpack   傅里叶变换
scipy.integrate 积分
scipy.interpolate   插值
scipy.io        数据输入和输出
scipy.linalg    线性代数
scipy.ndimage   n维图像
scipy.odr       正交距离回归
scipy.optimize  优化
scipy.signal    信号处理
scipy.sparse    稀疏矩阵
scipy.spatial   空间数据结构和算法
scipy.special   特殊函数
scipy.stats     统计
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# 使用 dir() 函数来查看 constants 模块包含的常量：
from scipy import constants
print(dir(constants))
'''
单位类型
常量模块包含以下几种单位：
公制单位
二进制，以字节为单位
质量单位
角度换算
时间单位
长度单位
压强单位
体积单位
速度单位
温度单位
能量单位
功率单位
力学单位
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print()
# SciPy 常量模块:
# constants 是 scipy 的常量模块
from scipy import constants
# 查看一英亩等于多少平方米：
print(constants.acre)   # 输出 4046.8564223999992
# SciPy 常量模块 constants 提供了许多内置的数学常数
# 圆周率：  pi
# 黄金比例： golden
from scipy import constants
print(constants.pi)         # 输出 3.141592653589793 【圆周率】
print(constants.golden)     # 输出 1.618033988749895 【黄金比例】

SciPy基本操作

1-求解非线性方程（组）

1-1

解题代码如下：

# scipy.optimize模块的fsolve和root可求非线性方程（组）的解
# 格式：
from scipy.optimize import fsolve
from scipy.optimize import root
# fsolve或root求解非线性方程组时，先把非线性方程组写成 F(x)=0 这样的形式【x:向量；F(x)：向量函数】
fx = lambda x: x**980-5.01*x**979-3.388*x**977\
    +7.398*x**978-x**3+5.01*x**2-7.398*x+3.388
x1 = fsolve(fx, 1.5, maxfev=420)     # 函数调用420次【调用小了，会报警告】
x2 = root(fx, 1.5)
print(x1)   # 相当于答案
print()
print(x2)   # 相当于解题过程

运行x1、x2结果如下：

1-2

解题代码如下：

from scipy.optimize import fsolve, root
fs2 = lambda s: [s[0]**2+s[1]**2-1, s[0]-s[1]]
s1 = fsolve(fs2, [1, 1])
print()
s2 = root(fs2, [1, 1])
print(s1)	# 输出 [0.70710678 0.70710678]
print()
print(s2)

运行s2效果如下：

2-积分

scipy.integrate模块提供了多种积分模式。

积分主要分为以下两类：

• 对给定函数的数值积分

• 对给定离散点的数值积分，函数有trapz

题目：

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函数                                              说明
quad(func, a, b, args)                      计算一重数值积分
dblquad(func, a, b, gfun, hfun, args)       计算二重数值积分
tplquad(func, a, b, gfun, hfun, qfun, rfun) 计算三重数值积分
nquad(func, ranges, args)                   计算多变量积分
'''
from scipy.integrate import quad

def func(x, a, b):
    return a*x**2+b*x
z1 = quad(func, 0, 1, args=(2, 1))
z2 = quad(func, 0, 1, args=(2, 10))
print(z1)   # 输出 (1.1666666666666665, 1.2952601953960159e-14)
print(z2)   # 输出 (5.666666666666667, 6.291263806209221e-14)
# 注：输出的后一个值为积分值的绝对误差

3-最小二乘解

# 最小二乘解
# scipy.optimize 模块求非线性方程组最小二乘解格式：
'''
from scipy.optimize import least_squares
least_squares(fun, x0)
注：用到loadtxt需自行准备好文件【准备文件】
'''
from scipy.optimize import least_squares
import numpy as np
s = np.loadtxt('data.txt')
x0 = s[0]
y0 = s[1]
d = s[2]
fs = lambda x: np.sqrt((x0-s[0])**2+(y0-s[1])**2-d)
xc = least_squares(fs, np.random.rand(2))
print(xc)
print()
print(xc.s)

4-最大模特征值及对应的特征向量

题目：

# 4-最大模特征值及对应的特征向量
# 题目描述：求下列矩阵的最大模特征值及对应的特征向量：
from scipy.sparse.linalg import eigs
import numpy as np
m = np.array([
    [1, 2, 3],
    [2, 1, 3],
    [3, 3, 6]
], dtype=float)
a, b = np.linalg.eig(m)
c, d = eigs(m, 1)
print('最大模特征值为：', c)    # 输出 最大模特征值为： [9.+0.j]
print('对应的特征向量：\n', d)

运行结果如下：

Numpy学习（续）

# NumPy 广播(Broadcast)
# 广播是 numpy 对不同形状的数组进行数值计算的方式， 对数组的算术运算通常在相应的元素上进行。

# 如果两个数组 a 和 b 形状相同，即满足 a.shape == b.shape，那么 a*b 的结果就是 a 与 b 数组对应位相乘。
# 这要求维数相同，且各维度的长度相同。
'''
对两个数组，分别比较他们的每一个维度（若其中一个数组没有当前维度则忽略），满足：
数组拥有相同形状。
当前维度的值相等。
当前维度的值有一个是 1。
若条件不满足，抛出 "ValueError: frames are not aligned" 异常

'''
import numpy as np
a = np.array([3, 6, 9])
b = np.array([2, 4, 6])
c = a * b
print(c)    # 输出 [ 6 24 54]
# 若形状不同时，numpy 将自动触发广播机制
import numpy as np
x = np.array([
    [4, 2, 5],
    [5, 2, 0],
    [2, 6, 1],
    [1, 4, 5]
])
y = np.array([3, 1, 2])
print(x+y)
yy = np.tile(y, (4, 1))     # 重复b的各个维度
print(x+yy)

1 Numpy 数学函数

1-1三角函数

# NumPy 数学函数
# NumPy 包含大量的各种数学运算的函数，包括三角函数，算术运算的函数，复数处理函数等。

# 1-三角函数
# NumPy 提供了标准的三角函数：sin()、cos()、tan()。
import numpy as np

lxw = np.array([0, 30, 45, 60, 90])

# sin()
zx = np.sin(lxw*np.pi/180)
print(zx)
# 计算角度的反正弦【单位：弧度】
fzx = np.arcsin(zx)
print(fzx)
# 检查结果【通过转化为角度制】
jg = np.degrees(fzx)
print(jg)   # 输出 [ 0. 30. 45. 60. 90.]
# cos()
yx = np.cos(lxw*np.pi/180)
print(yx)
# 反余弦
fyx = np.arccos(yx)
print(fyx)
# 检查结果：
jg2 = np.degrees(fyx)
print(jg2)  # 输出 [ 0. 30. 45. 60. 90.]
# tan()
zq = np.tan(lxw*np.pi/180)
print(zq)

# 反正切
fzq = np.arctan(zq)
print(fzq)
# 检查结果：
jg3 = np.degrees(fzq)
print(jg3)  # 输出 [ 0. 30. 45. 60. 90.]

2-舍入函数

2-1 numpy.around()

# 2-舍入函数
# 2-1 numpy.around()
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numpy.around() 函数返回指定数字的四舍五入值。
格式：
numpy.around(a,decimals)
参数说明：
a: 数组
decimals: 舍入的小数位数。 默认值为0。 如果为负，整数将四舍五入到小数点左侧的位置

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import numpy as np
bl = np.array([15.222, 22.6555, 13.71111])
print(np.around(bl))        # 输出 [15. 23. 14.]
print(np.around(bl, 2))     # 输出 [15.22 22.66 13.71]
print(np.around(bl, -1))    # 输出 [20. 20. 10.]

2-2 numpy.floor()

# 2-2 numpy.floor()
# numpy.floor() 返回小于或者等于指定表达式的最大整数，即向下取整
import numpy as np
xx = np.array([23.3, 13.43, 2.9])
print(np.floor(xx))     # 输出 [23. 13.  2.]

2-3 numpy.ceil()

# 2-3 numpy.ceil()
# numpy.ceil() 返回大于或者等于指定表达式的最小整数，即向上取整
import numpy as np
xs = np.array([23.1, 23.5, 54.9])
print(np.ceil(xs))      # 输出 [24. 24. 55.]

3 Numpy算术函数

NumPy 算术函数包含简单的加减乘除: add()，subtract()，multiply() 和 divide()

• 倒数：reciprocal()

• 幂：power()

• 余数：mod() | remainder()

注：数组必须具有相同的形状或符合数组广播规则

相关代码如下：

import numpy as np
sz = np.arange(9, dtype=np.float_).reshape(3, 3)
sz2 = np.array([5, 2, 1])   # 注：如果相除，这里是被除数的话，里面不能有0
# 数组相加
xj = np.add(sz, sz2)
print(xj)
# 数组相减
xj2 = np.subtract(sz, sz2)
print(xj2)
# 数组相乘
xc = np.multiply(sz, sz2)
print(xc)
# 数组相除
xc2 = np.divide(sz, sz2)
print(xc2)
print()
# numpy.power()
# numpy.power() 函数将第一个输入数组中的元素作为底数，计算它与第二个输入数组中相应元素的幂
import numpy as np
m = np.array([1, 4, 8])     # 数组1
mc = np.power(m, 3)         # 数组1所有元素对应的3次方
print(mc)   # 输出 [  1  64 512]
m2 = np.array([1, 2, 3])    # 数组2
mc2 = np.power(m, m2)       # 数组1作为底数，数组2作为幂
print(mc2)  # 输出 [  1  16 512]
print()
# numpy.mod()
# numpy.mod() 计算输入数组中相应元素的相除后的余数
# 函数 numpy.remainder() 也产生相同的结果
import numpy as np
sz1 = np.array([23, 45, 67])
sz2 = np.array([2, 3, 5])
print(np.mod(sz1, sz2))         # 输出 [1 0 2]
print(np.remainder(sz1, sz2))   # 输出 [1 0 2]

Pandas学习（续）

# pandas的SettingWithCopyWarning

# pandas的SettingWithCopyWarning报警复现、原因、解决方案
# 读取数据
import pandas as pd
df = pd.read_csv('nba.csv')
print(df.head())
# 核心解决问题：pandas的dataframe的修改写操作，只允许在源dataframe上进行，一步到位
# 解决方法（两种）：
'''
1-将get+set的两步操作，改成set的一步操作
2-若须处理筛选数据做后续的处理分析，使用copy复制dataframe

'''
# pandas不允许先筛选子dataframe,在进行修改写入

【注意先准备好csv文件】

Pandas 数据排序

Series的排序：

# Pandas 数据排序
'''
Series的排序：
Series.sort_values(ascending=True, inplace=False)
参数说明：
    · ascending: 默认为True升序排序，False为False
    · inplace:   是否修改原始Series

DataFrame的排序：
DataFrame.sort_values(by, ascending=True, inplace=False)
参数说明：
    · by:字符串或者List<字符串>,单列排序或者多列排序
    · ascending: bool或者List，升序还是降序
    · inplace:   是否修改原始DataFrame

'''
# Series的排序：
import pandas as pd
df = pd.read_csv('nba.csv')
print(df.head())		# 输出前五行
print(df['Weight'].sort_values())                      # 升序排序
print(df['Weight'].sort_values(ascending=False))       # 降序排序

运行结果分别如下：

DataFrame的排序

# DataFrame的排序
# 单列排序：
print(df.sort_values(by='Weight'))

运行部分结果如下：

print(df.sort_values(by="Weight", ascending=False))     # 降序排序

# 多列排序：
print(df.sort_values(by=['Age', 'Weight']))

# 两个字段都是降序排序
print(df.sort_values(by=['Age', 'Weight'], ascending=False))

# 分别指定升序还是降序
print(df.sort_values(by=['Age', 'Weight'], ascending=[False, True]))

Pandas字符串处理

之前我就在这个字符串处理的题上出了一些问题(不过当天就解决啦)【今天在来看看】，也就是

df['lrl'].str.replace("%", "").astype("int32")

# Pandas字符串处理：
'''
1-使用方法：先获取Series的属性，然后再属性上调用函数
2-只能在字符串列上使用，不能再数字列上使用
3-DataFrame没有str属性和使用
4-Series.str并不是原生Python字符串，它是封装的一套方法
'''
# 获取Series的属性
# print(df['Salary'].str)   # 报错【示范】

# AttributeError: Can only use .str accessor with string values!
# AttributeError：只能使用。带字符串值的str访问器！

# 一定得是字符串列
print(df['College'].str)
# 运行结果为： 
# 判断是不是数字列
print(df['College'].str.isnumeric())
# print(df['College'].len)      # 报错【示范】

# AttributeError: 'Series' object has no attribute 'len'
# AttributeError：“Series”对象没有属性“len”

# 使用str的startswith、contains等得到bool的Series可以做条件查询
tj = df['Height'].str.startswith("6-2")
print(tj)

# 去掉Height中间的“-”
print(df['Height'].str.replace("-", ""))

# 取第一位数
print(df['Height'].str.replace("-", "").str.slice(0, 1))

# 同上
print(df['Height'].str.replace("-", "").str[0:1])