陶哲轩最新演讲：数学正在进入“工业时代”

直奔主题，说几个核心判断吧。陶哲轩在2026年ICM上的演讲，没有从AI又解决了哪道数学难题讲起，而是把时间拨回到20世纪初。

在他看来，20世纪初，伴随着罗素悖论、哥德尔不完备定理等一系列发现，数学家被迫重新审视集合、无穷、公理等最基础的问题。这场被称为“数学基础危机”的思想震荡，一度引发激烈争论，却最终推动数学建立起更加严密、统一的现代基础体系。

而今天，随着AI开始参与数学研究，数学或许再次站在一个类似的历史节点。不同的是，这一次受到挑战的，不再是数学理论的基础，而是数学共同体长期默认的研究方式和价值体系：什么才算一项真正完成的成果？数学研究的目标，是尽可能证明更多定理，还是帮助人类建立更深刻的理解？

图 ｜ 大会现场（来源：X）

尽管陶哲轩并没有在演讲中直接使用“工业化”来形容数学的未来，但他描绘的图景已经呈现出鲜明的工业特征：数学知识将从稀缺走向充裕，研究流程被拆解为生成、验证、解释、评审和知识整合等多个环节，人类与AI也将在其中重新分工。当证明越来越容易获得，真正稀缺的，应该是提出问题、理解问题，以及组织知识的能力。

（截至发稿，演讲视频尚未上线，本文主要依据陶哲轩会后发布的52页演讲幻灯片进行整理解读。）

真正的问题，已经不是AI会不会做数学

在演讲一开始，陶哲轩提出了一个“AI能力猜想”（AI Capability Conjecture）：未来，AI可能在可接受的成本和一定程度的人类监督下，完成部分研究级数学工作。至于它能处理哪些问题、需要多少人工参与、达到怎样的正确率和结果质量，都可以有不同设定，因此这一猜想也有强弱之分。

如果连最弱的版本都无法实现，数学界大可以延续原有的研究方式；如果较强版本成为现实，尤其当数学共同体仍把“尽可能多地解决未解问题”放在首位，现有的文化、评价体系和研究实践都将受到冲击。

陶哲轩真正关心的，是这种变化会把数学带向哪里。他在幻灯片中明确说明，这场演讲无意判断“AI能力猜想”是否成立，而是请听众先接受一个工作假设（Working Hypothesis）：假设AI很快能够以可接受的成本和监督，承担相当一部分研究级数学任务，数学共同体该如何应对？整场演讲由此展开，重点落在能力提升之后的制度与价值问题。

至于AI是否已经接近这一阶段，陶哲轩引用了一项自己参与发起的最新评测项目First Proof作为背景。

今年5月底，First Proof在严格控制的条件下测试了四套AI数学系统。10道此前从未公开的新题全部来自真实研究过程，由相关领域专家按照学术期刊的审稿标准，对解答的正确性和论文表述进行评估。结果显示，四套AI系统共在10道题中成功解决了7道，每道题至少有一份解答达到学术期刊发表水平，单题计算成本约为10至1000美元。

（来源：陶哲轩）

但这项评测中也暴露出了AI的局限。虽然它已经能够完成研究级证明，却仍会出现引用错误、解释不足等简单错误。在介绍First Proof之前，陶哲轩还特意提醒，当前许多关于AI数学能力的公开案例都存在报告偏差（reporting bias），算力投入、人工参与和失败案例等关键变量往往没有完整披露，因此现有材料还不足以支撑稳固判断。

这不禁让人联想到在ICM开幕前几天，数学界还发生了一个引发热议的事件。7月20日，Anthropic数学家Levent Alpöge公布了一个由Claude Fable 5参与发现的雅可比猜想三维反例。随后，研究者利用Isabelle/HOL完成了形式化验证，确认这一反例成立。

图 ｜Levent Alpöge （来源：Quanta Magazine）

证明很快得到了验证，但新的问题随之出现：它为什么成立？这样的构造是如何想到的？

第二天，陶哲轩在个人博客发表长文，对这一反例进行了详细解读。他不止停留在验证结果，而是一步步还原其背后的几何构造，解释它为什么成立，以及它与已有理论之间的联系。

某种意义上，这正是他在ICM想讨论的事情。当机器越来越擅长生成和验证证明之后，人类数学家的工作不会随之结束，而是转向另一件同样重要的事情：解释证明、组织知识，并帮助数学共同体真正理解这些成果。

而要理解这种变化，就必须先回答一个更根本的问题：数学共同体究竟希望数学研究实现什么？

从“证明稀缺”走向“证明过剩”

在陶哲轩看来，数学研究从来不只有“解出更多题目”这一个目标。它同时承担着许多不同的使命：解决未解问题、发展新理论、理解世界、建设共同体、培养下一代数学家、扩展共享知识，以及创造具有持久审美价值的作品。

过去，这些目标大体是正相关的。解决重要问题往往意味着发展新理论；寻找证明的过程，也会培养年轻数学家、丰富数学共同体。因此，“解出了多少问题”“谁最先证明”，在相当长时间里都可以近似代表更复杂的学术价值。

但AI可能即将打破这种关系。

陶哲轩借用了经济学中的古德哈特定律（Goodhart's Law）：当一个指标成为优化目标，它就不再是一个好的指标。生成式AI缺少现实世界的约束，AI公司又有展示模型能力的动力，因此尤其容易把“解出更多数学问题”这一指标推向极致。

图｜古德哈特定律：优化指标，不等于实现目标。（来源：Image 2）

为了说明这一点，陶哲轩在演讲中围绕“一个数学问题究竟何时才算真正解决”展开了五层递进的讨论。

在最初，数学家们的目标只是“尽可能多地解决未解问题”。但这样的标准很容易产生大量错误证明，于是第二层需要加入验证（verification）。

不过，随着AI和自动形式化（autoformalization）的发展，证明生成（proof generation）和证明验证（proof verification）都在迅速加快。Rocq、HOL、Lean等证明助理已经能够逐步检查形式化证明。但新的问题也随之出现：如果机器生成了一份已经通过验证、却没有任何人真正理解的证明，它是否意味着这个数学问题已经真正解决？

陶哲轩给出的答案是否定的。因此，第三层进一步加入了阐释（proof exposition）：证明不仅要正确，还需要有人解释它为什么成立、有什么意义。而如果再往上一层，成果不止停留在个人，还需要获得数学共同体的认可，其他研究者不仅确认结论正确，也能够理解其中的方法，并将其应用到新的研究中。最后，它还需要进入标准理论、教材和数学共同体共享的知识体系，成为后来者继续发展的基础。

一条完整的知识链出现了：开放问题首先变成未经核验的证明，再经过验证、阐释、同行接受和知识整合，最终才成为稳定的数学知识。

图 ｜陶哲轩提出“数学问题真正解决”的五层目标（来源：陶哲轩）

AI可以大幅提高这条知识链前端的生产效率，却无法自动扩建后端。等待验证、阐释和整理的证明会越来越多，论文不断挤压同行评审系统；即使最终发表，数学界也未必有足够的人力和时间，把这些成果真正吸收、消化，并整合进成熟的理论框架。

陶哲轩把这种错配比作一种“证明的消化不良”（proof indigestion）。数学或许将从一个证明稀缺的时代，进入一个证明过剩的时代。

这也延续了他近几年的判断。2024年6月，陶哲轩曾预测，把大语言模型与形式化验证、检索和符号计算结合之后，2026年左右，AI有望成为数学研究中值得信赖的合作者。当时，他紧接着追问的就是：期刊、引用规则和研究生培养体系，该如何适应这样的变化。

到了2026年6月，他进一步提出了“Big Mathematics（大数学）”的概念：未来复杂的数学研究将被拆分成大量子任务，由分布式的人机协作网络共同完成；人类更多负责提出问题、设计方向和创造性工作，AI则承担证明生成、形式化验证等技术性任务。

而这次ICM演讲，则把他的思考又向前推进了一步。真正的瓶颈，已经不再只是如何生产更多证明，而是如何验证、理解、传播并消化这些证明。数学未来需要建设的，不只是更强大的“证明工厂”，更是一套能够支撑质量控制、同行评审、知识整理和共同体传承的新体系。

答案正确，还远远不够

如今的AI，已经可以生成语法、拼写和格式几乎无可挑剔的数学文本。但在陶哲轩看来，这类文本的阐释能力仍然参差不齐：它们往往在简单的部分停留过久，却在真正困难或新颖的地方一笔带过，也很少主动说明一项结果与已有文献之间的联系。

更隐蔽的问题，还来自过度润色。人类作者曾经觉得困难的地方，往往会保留一些思考和推导的痕迹，提醒读者放慢速度、反复推敲。过于光滑的AI文本，却可能把常规步骤和关键突破写得同样轻松，反而掩盖了真正值得学习和理解的思想。

陶哲轩展示了一张自己年轻时阅读法国数学家让·布尔甘（Jean Bourgain）1991年论文的照片。纸页上写满了批注。对他而言，阅读、停顿、补全中间步骤、重新组织思路，恰恰是理解形成的过程，并不需要被完全删去。

（来源：陶哲轩）

随后，他引用了美国数学家威廉·瑟斯顿（William Thurston）1994年关于数学证明的经典论述：数学并不是为了完成一项由定义、定理和证明组成的抽象生产指标，真正的衡量标准，是能否让人们更清楚、更有效地理解和思考数学。

证明的发表也不是终点。它还需要被共同体接受、使用，并最终成为教材和标准理论的一部分。其中最缓慢、也最容易被忽视的工作，往往由编辑、审稿人、教材作者以及负责阐释成果的数学家完成。这些工作远不如率先给出证明那样耀眼，却承担着把个人成果转化为共同知识的职责。

基于此，陶哲轩也提出了几项值得数学共同体重新思考的方向。

首先，披露AI的使用应该成为学术写作中的常态。陶哲轩就在自己的幻灯片中注明，AI被用于文字自动补全和图表生成。

其次，评价体系或许需要降低对“第一个解出问题”和证明数量的强调，把更多认可给予阐释、验证和知识整合工作。陶哲轩提出，如果作者无法独立就研究结果作出一份清楚、准确且引用完整的专家级报告，那么这项成果就不应直接发表。

AI可以帮助期刊筛除明显缺乏验证或写作质量较差的论文，却无法替代数学共同体作出最终判断。一个成果是否值得进入学科主线，仍然是一个缓慢、依赖专业判断和长期共识形成的过程。

与此同时，数学家的职业分工也已经开始发生变化。2026年4月，陶哲轩在接受Nature采访时曾表示，数学家的“工作要求正在改变”。而本届新晋菲尔兹奖得主雅各布齐默尔曼（Jacob Tsimerman）则宣布，他将在8月底加入OpenAI，从事AI安全研究，希望为多智能体系统建立更严格的理论保证。

几天前借助Claude Fable 5找到雅可比猜想反例的Levent Alpöge，正是齐默尔曼曾指导本科毕业论文的学生。如今，两人分别进入Anthropic和OpenAI：一位借助AI探索新的数学对象，一位研究如何让更强大的AI更加安全可靠。

这当然不能代表所有数学家的选择，但折射出一种正在发生的变化：未来数学家的工作，也许不再只是生产新的证明，而是设计验证体系、解释机器生成的结果，并参与塑造人与AI协作的新规则。

演讲之后，他让AI采访了自己

演讲结束后的第二天，陶哲轩又做了一个有趣的实验。

7月25日，他在Mastodon上透露，自己让AI汇集并整理过去发布的100多篇帖子、采访和视频，总结自己对AI的观点；对于已有材料没有涉及的问题，再由AI反过来“采访”自己。他还特意要求AI把问题设计得更尖锐一些。

（来源：陶哲轩）

在这其中，AI提出的许多问题，都与这场演讲形成了呼应：与多家AI公司合作，是否会为行业炒作提供信誉？数学能够自动验证，是否只是一个无法推广到医疗、司法等领域的特殊样本？一边警告“证明消化不良”，一边推动大规模数学项目，是否也在加速“证明过剩”？

陶哲轩没有回避这些问题。他表示，大规模项目会尽量放在长期缺乏关注的数学“长尾”问题上，避免与年轻数学家的研究方向直接竞争；至于如何判断一份证明是否真正被“消化”，未来很可能需要期刊、教材和出版体系逐渐建立新的规范。

某种意义上，这场自我采访，就是他所倡导的人机协作的缩影：AI阅读资料、寻找遗漏、提出问题、生成初稿；人类负责审阅、修正，并对最终内容负责。

从2024年预测AI将成为数学家的合作者，到2026年讨论如何理解和消化机器生成的证明，陶哲轩关心的问题已经发生了变化。AI能否参与数学研究，正逐渐从预测走向现实；数学共同体如何重新组织知识、调整评价标准、建立新的协作方式，才是接下来真正需要面对的课题。

未来值得关注的，也许不只是模型还能证明多少定理，而是期刊是否会调整审稿与披露规则，大学如何重新设计数学教育，解释、验证和整理知识的工作能否获得应有的价值，以及机器生成的成果最终有多少能够进入教材、融入理论，并成为后来者继续发展的起点。

1.https://teorth.github.io/tao-web/slides/age-of-ai-icm-2026.pdf
2.https://1stproof.org/second-batch.html
3.https://1stproof.org/assets/docs/report.pdf
4.https://isa-afp.org/entries/Jacobian_Counterexample.html
5.https://terrytao.wordpress.com/2026/07/21/a-digestion-of-the-jacobian-conjecture-counterexample/
6.https://teorth.github.io/tao-web/ai-views-interview.html