关于三次函数fx=ax^3+bx^2+cx+d的定义：假设fx是函数y
对于三次函数fxax3bx2cxda0定义：设fx是函数yfx的导数y(1)依题意，得：f′（x）=3x2-12x+5，∴f′′（x）=6x-12=0，得x=2所以拐点坐标是（2,-2）(2)设（x1,y1）与（x,y）关于（2,-2）中心对称，并且（x1,y1）在f(x)，所以就有x1=4-xy1=-4-y,由y1=x13-6x12+5x1+4，得-4-y=(4-x)3-6(4-x)2+5(x-4)+4化简的：y=x3-6x2+5x+4所以（x,y）也在f(x)上，故f(x)关于点（2,-2）对称.三次
对于三次函数fx ax 3 bx 2 cx da 0定义：设f x是函数y fx的导数y
(1)依题意，得：f′（x）=3x 2 -12x+5，∴f′′（x）=6x-12=0，得x=2
所以拐点坐标是（2,-2）
(2)设（x 1 ,y 1 ）与（x,y）关于（2,-2）中心对称，并且（x 1 ,y 1 ）在f(x)，所以就有
x 1 =4-x
y 1 =-4-y ,
由y 1 =x 1 3 -6x 1 2 +5x 1 +4，得-4-y=(4-x) 3 -6(4-x) 2 +5(x-4)+4
化简的：y=x 3 -6x 2 +5x+4
所以（x,y）也在f(x)上，故f(x)关于点（2,-2）对称.
三次函数f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d(a≠0)的“拐点”是（-
b
3a ,f(-
b
3a )），它就是函数f(x)的对称中心
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）.
(3),G(x)=a(x-1) 3 +b(x-1) 2 +3(a≠0)，或写出一个具体函数，如G(x)=x 3 -3x 2 +3x+2，或G(x)=x 3 -3x 2 +5x
对于三次函数fx ax3 bx2 cx da 0定义：设f x是函数y fx的导函
(1)f′（x）=3x2-6x+2…（1分）f″（x）=6x-6令f″（x）=6x-6=0得x=1…（2分）f(1)=13-3+2-2=-2∴拐点A(1,-2)…（3分）
(2)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点，则y0=x03-3x02+2x0-2，因为P(x0,y0)关于A(1,-2)的对称点为P'(2-x0,-4-y0),
把P'代入y=f(x)得左边=-4-y0=-x03+3x02-2x0-2
右边=（2-x0）3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-x03+3x02-2x0-2∴右边=右边∴P′（2-x0,-4-y0）在y=f(x)图象上∴y=f(x)关于A对称 …（7分）
结论：①任何三次函数的拐点，都是它的对称中心
②任何三次函数都有“拐点”
③任何三次函数都有“对称中心”（写出其中之一）…（9分）
(3)设G(x)=ax3+bx2+d，则G(0)=d=1…（10分）∴G(x)=ax3+bx2+1,G'(x)=3ax2+2bx,G''(x)=6ax+2bG''(0)=2b=0,b=0，∴G(x)=ax3+1=0…（11分）
法一：
G(x1)+G(x2)
2 ?G(
x1+x2
2 )=
a
2
x 3
1
+
a
2
x 3
2
?a(
x1+x2
2 )3=a[
1
2
x 3
1
+
1
2
x 3
2
?(
x1+x2
2 )3]=
a
2 [
x 3
1
+
x 3
2
?
x 3
1
+
x 3
2
+3
x 2
1
x2+3x1
x 2
2
4 ]=
a
8 (3
x 3
1
+3
x 3
2
?3
x 2
1
x2?3x1
x 2
2
)=
a
8 [3
x 2
1
(x1?x2)?3
x 2
2
(x1?x2)]=
3a
8 (x1?x2)2(x1+x2)…（13分）
当a>0时，
G(x1)+G(x2)
2 >G(
x1+x2
2 )
当aG(x1)+G(x2)
2 x1+x2
2 ）…（14分）
法二：G′′（x）=3ax，当a>0时，且x>0时，G′′（x）>0，∴G(x)在（0，+∞）为凹函数，∴
G(x1)+G(x2)
2 >G(
x1+x2
2 )…（13分）
当aG(x1)+G(x2)
2 x1+x2
2 ）…（14分）
对于三次函数fx ax3 bx2 cx da 0定义：设f x是函数y fx的导函数
(1)∵f'(x)=3x2-6x+2,
∴f''(x)=6x-6,
令f''(x)=6x-6=0,
得x=1,f(1)=-2
所以“拐点”A的坐标为（1,-2）
(2)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点，则y0=x03?3x02+2x0?2
∴P(x0,y0)关于（1,-2）的对称点P'(2-x0,-4-y0),
把P'(2-x0,-4-y0)代入y=f(x)，得左边=？4?y0=?x03+3x02?2x0?2
右边=（2?x0）3?3(2?x0)2+2(2?x0)?2=?x03+3x02?2x0?2
∴左边=右边，
∴P'(2-x0,-4-y0)在y=f(x)图象上，
∴f(x)的图象关于“拐点”A对称.
正软商城本月促销专区，汇集办公、设计、安全、影音、系统工具及AI软件等正版软件优惠活动，提供限时折扣、特价授权和优惠购买信息，活动库存及价格以页面实时展示为准。
正软商城装机必备专区，精选办公、浏览器、安全防护、影音播放、压缩解压、设计创作和系统工具等电脑常用正版软件，帮助用户快速完成新电脑软件配置。
正软商城Windows软件专区，汇集适用于Windows电脑的办公、设计、安全防护、影音播放、开发工具和系统优化软件，提供软件介绍、系统要求、正版授权及购买下载服务。
正软商城macOS软件专区，精选适用于Mac电脑的办公、设计、影音、效率、开发和系统工具，提供软件功能介绍、macOS兼容版本、正版授权及购买下载服务。
正软商城iOS软件专区，精选适用于iPhone和iPad的办公、学习、影音、设计、效率及AI应用，提供功能介绍、适用设备、系统要求和正版获取方式等信息。
正软商城AI软件专区，汇集AI写作、AI绘画、AI视频、AI办公、AI编程、AI翻译、智能客服和数据分析等人工智能工具，提供功能介绍、适用平台、收费方式及正版购买信息。
正软商城PDF教程频道提供PDF编辑、转换、合并、拆分、压缩及格式处理方法，同时介绍常用PDF软件和工具的使用技巧。
赤友清理大师是一款为 Mac 设计的智能清理优化工具，可精准扫描垃圾、大文件、重复文件等，释放磁盘空间。做扫描整理、文字提取和表格转换时，它能把识别后的处理步骤接得更顺，资料录入这类场景会省下不少时间。
极度公式是一款跨平台专业LaTeX公式识别编辑软件，支持OCR公式识别和多平台编辑。和使用说明，避免使用，享受完整功能与稳定支持。做扫描整理、文字提取和表格转换时，它能把识别后的处理步骤接得更顺，资料录入这类场景会省下不少时间。
一款文字处理软件，一种订阅式的跨平台办公软件，基于云平台提供多种服务，通过将 Excel 和 Outlook 等应用与 OneDrive 和 Microsoft Teams 等强大的云服务相结合，Office 365 可让任何人使用任何设备随时随地创建和共享内容。
CodeExpander 是一款快捷短语输入增强工具，通过键入缩写自动展开为自定义文段，提升工作效率。任务管理和过程控制会更完整，持续下载、批量同步或需要稳定传输流程的场景会更适合它。
Mountain Duck 是一款能将多个网盘挂载到本地的工具，像本地磁盘一样使用网盘。清理链路的完整性会更好一些，做应用卸载、残留处理和空间整理时，通常能少走很多手动排查步骤。
极度公式是一款跨平台专业LaTeX公式识别编辑软件，支持OCR公式识别和多平台编辑。和使用说明，避免使用，享受完整功能与稳定支持。做扫描整理、文字提取和表格转换时，它能把识别后的处理步骤接得更顺，资料录入这类场景会省下不少时间。
一款文字处理软件，一种订阅式的跨平台办公软件，基于云平台提供多种服务，通过将 Excel 和 Outlook 等应用与 OneDrive 和 Microsoft Teams 等强大的云服务相结合，Office 365 可让任何人使用任何设备随时随地创建和共享内容。
Wise Folder Hider Pro 是一款专业级文件和文件夹隐藏加密软件，为私密数据添加多重保护。高频操作更强调就近处理，浏览、整理和跨目录移动文件时，来回切换和重复点击都会少很多。
CodeExpander 是一款快捷短语输入增强工具，通过键入缩写自动展开为自定义文段，提升工作效率。任务管理和过程控制会更完整，持续下载、批量同步或需要稳定传输流程的场景会更适合它。
Mountain Duck 是一款能将多个网盘挂载到本地的工具，像本地磁盘一样使用网盘。清理链路的完整性会更好一些，做应用卸载、残留处理和空间整理时，通常能少走很多手动排查步骤。
