o1 方法性能无上限！姚班马腾宇等数学证明：推理 token 够多，就能解决任意问题

OpenAI 用 o1 开启推理算力 Scaling Law，能走多远？

数学证明来了：没有上限。

斯隆奖得主马腾宇以及 Google Brain 推理团队创建者 Denny Zhou 联手证明，只要思维链足够长，Transformer 就可以解决任何问题！

通过数学方法，他们证明了 Transformer 有能力模拟任意多项式大小的数字电路，论文已入选 ICLR 2024。

用网友的话来说，CoT 的集成缩小了 Transformer 与图灵机之间的差距，为 Transformer 实现图灵完备提供了可能。

这意味着，神经网络理论上可以高效解决复杂问题。

再说得直白些的话：Compute is all you need！

CoT 让 Transformer 运行更高效

首先需要说明的是，" 可以解决任何问题 " 是一个通俗化的表述，严格来说，论文的核心结论是思维链（CoT）能够显著提升 Transformer 的表达能力。

作者首先通过理论分析，提出对于固定深度、多项式宽度、常数精度的 Transformer 模型，如果不使用 CoT，其表达能力将受限于 AC0 问题类别。（AC0 是一类可以在并行计算中高效解决的问题，但不包括需要复杂序列化计算的问题。）

在固定指数位的情况下，固定深度、对数精度的 Transformer 模型即使引入了正确的舍入操作，其表达能力也仅限于 TC0 问题类别。

但当引入 CoT 时，固定深度、常数精度的 Transformer 模型就能够解决任何由大小为 T 的布尔电路解决的问题。

这表明 CoT 显著扩展了模型的表达能力，使其能够处理更复杂的问题。

为了验证理论分析，论文在四个核心问题上进行了实验，考虑了基础（base）、CoT 和提示（hint）三种不同的训练设置：

模运算（Modular Addition）：并行计算问题，论文展示了 CoT 如何提高模型在这个问题上的准确性；

置换群组合（Permutation Composition）：需要序列化计算的问题，论文证明了 CoT 在解决这类问题上的有效性；

迭代平方（Iterated Squaring）：典型的序列化计算问题，论文展示了 CoT 如何使模型能够有效地解决这类问题；

电路值问题（Circuit Value Problem）：这是一个 P 完全问题，论文证明了即使是在模型深度较低的情况下，CoT 也能使模型能够解决这类问题。

首先在可并行的模运算问题上，输入是若干个模 7 的数，输出是它们的模 7 和。

实验结果表明，所有设置下的 Transformer 都能够学习模加；但在较长序列（如 n=16）上，CoT 的优势更加明显。

这说明即使是可并行问题，CoT 也能带来一定的效率提升。

在内在串行的置换群复合任务上，输入是 S_5 置换群中的若干个置换，输出是它们的复合结果。

结果，CoT 提高了低深度模型的准确性——

不使用 CoT 的 Transformer 即使深度较大也难以学习该任务（准确率约 20%），而使用 CoT 后即使是 1 层 Transformer 也能轻松学习（准确率 100%）。

对于迭代平方任务，输入是一个质数 p、一个整数 r 和若干个 "^2" 符号，输出是 r^ ( 2^k ) mod p。

实验结果与置换群复合任务相似：不使用 CoT 时。即使 16 层 Transformer 也难以学习；而使用 CoT 后。1 层 Transformer 就能完美求解。

这再次验证了理论分析，即迭代平方是内在串行的，需要 CoT 来提供必要的计算能力。

最后的电路值问题，输入是一个随机布尔电路的描述，输出是电路的最终输出值。

实验结果表明，在基准设置下，4 层 Transformer 的准确率约为 50%，8 层约为 90%，16 层接近 100%；

而使用 CoT 后，1 层 Transformer 就能达到接近 100% 的准确率。

这验证了理论结果，即 CoT 赋予了 Transformer 任意电路的模拟能力，使其能够解决电路值问题这一 P 完全问题。

CoT+Transformer 模拟门电路

除了上述实验，作者还对以下结论进行了理论证明：

对于任意一个可以用多项式大小的布尔电路计算的函数，都存在一个仅有常数层数的 Transformer，可以通过足够多步数的思维链（CoT）来模拟电路的计算过程，从而计算出这个函数。

证明的思路是先将布尔电路视为一系列逻辑门的组合，然后利用 Transformer 中的位置编码为每个逻辑门及其状态分配一个独特的表示，进而通过逐步计算来模拟整个电路的执行过程。

这个证明的关键，在于利用 CoT 来逐步模拟电路中每个门的计算。

具体而言，对于一个有 T ( n ) 个门的电路，作者设计了一个 4T ( n ) 个 token 的输入序列。

这个序列包含了电路的完整描述，每个门用 4 个连续的 token 表示：门类型、两个输入门的索引和当前门的索引，并用输入序列中的第一个 token 指示了电路的输入值。

然后，作者构造了一个常数深度的 Transformer，这个 Transformer 的嵌入维度只需要 O ( log n ) ，就足以对 T ( n ) 个门进行编码。

在第一层，Transformer 读取输入序列，并将电路的描述信息存储到其位置嵌入中。

接下来是关键的 CoT 步骤。Transformer 逐步生成 4T ( n ) 个 token 的思维链，每 4 个 token 对应电路中的一个门。

对于第 i 个门 ,Transformer 执行以下操作：

利用注意力机制获取两个输入门的计算结果：如果输入门是电路的输入，可以直接从输入序列中读取；如果输入门是前面计算过的中间结果，则可以从思维链的对应位置读取。

根据门的类型（与、或、非等），用前馈网络计算当前门的输出。

将当前门的输出写回到思维链中，作为后续门的输入。

通过这一过程，Transformer 逐步模拟了电路中每一个门的计算，并将中间结果存储在思维链中。在生成完整个思维链后，最后一个门的输出就对应了电路的最终输出。

也就是说，通过将电路 " 展开 " 为一个长度为 O ( T ( n ) ) 的思维链，即使固有深度很浅，Transformer 也可以逐步执行电路中的计算。

在此基础上，作者进一步证明，具有 O ( T ( n ) ) 长度 CoT 的常数深度 Transformer，可以模拟任意 T ( n ) 大小的电路，因此其计算能力等价于多项式大小电路。

理论打通了，实际可行吗？

能够模拟电路的计算过程，意味着 CoT+Transformer 能够解决可计算问题。

同时，这也说明只要有足够的 CoT 思考时间，大模型不需要扩展尺寸也能解决复杂问题。

有专业人士用一篇长文解释了 CoT 和图灵完备性之间的关系：

如果没有 CoT，Transformer 仅限于执行 AC0 复杂度类中的可并行任务；

CoT 推理从根本上改变了这一格局，它使 Transformer 能够通过中间推理 token 处理串行计算，从而增加计算深度并允许模型模拟 AC0 以外的更深层次的电路。

这一进步将 Transformer 带入了 P/poly 领域，即多项式大小电路可以解决的问题类型。

理论上，只要有足够的 CoT 步骤，Transformer 就可以模拟多项式大小电路可以执行的任何计算，从而缩小了 Transformer 与图灵机之间的差距。

但实际限制仍然存在，例如有限的上下文窗口和计算资源。要充分利用这一潜力，需要仔细的模型设计和优化。

还有人把这项成果和 OpenAI 的 " 草莓 "，也就是爆火的超强模型 o1 联系到了一起——

草莓同样也是思考的时间越长，准确性越高，按照这个思路，只要有好的模型，就能解决人类面临的一系列难题。

甚至有人表示，如果这项研究是真的，那么 AGI 就已经在到来的路上了……

不过也有人认为，这只是一个理论性的结果，距离实际应用还存在很大差距。

即使抛开理论与实际条件的不同，时间和成本问题就是一个重要的限制因素。

而且实验的一个假设是模型权重被正确设置，但实际模型的训练很难达到这一程度。

还有人指出，这种模拟门电路运算，并不是大模型实际学习和工作的方式。

换言之，如何将实际问题用布尔电路表示，是 Transformer 从能解决运算问题到能够解决实际问题的一个关键。

但现实中，诸如 " 如何治疗癌症 " 这样的问题，很难以电路的形式去描述。

虽然距离实际应用还有一系列问题要解决，但这项研究至少揭开了 CoT 的巨大潜力。

作者简介

本论文一共有四名作者，全部都是华人。

按署名顺序，第一位作者为清华姚班校友李志远，是马腾宇已毕业的博士生，现为芝加哥丰田技术学院（TTIC）的终身教授助理教授。

第二位作者是Hong Liu，也是马腾宇的博士生，现在在读，本科就读于清华，曾获得特等奖学金及优秀毕业生荣誉。

第三位是 Google Brain 推理团队创建者Denny Zhou，中科院博士，2017 年加入 Google 前在微软担任了 11 年的高级研究员。

最后是 2021 年斯隆奖得主、斯坦福大学助理教授马腾宇，他是姚班校友、陈丹琦的同班同学。

论文地址：

https://arxiv.org/abs/2402.12875

参考链接：

[ 1 ] https://x.com/denny_zhou/status/1835761801453306089

[ 2 ] https://www.reddit.com/r/singularity/comments/1fiemv4/denny_zhou_founded_lead_reasoning_team_at_google/