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陶哲轩新项目：证明素数定理的Lean方法蓝图齐备

时间：2024-11-27

借助 Lean，陶哲轩又开始了新的项目。


「由 Alex Kontorovich 和我领导的一个新的 Lean 形式化项目刚刚正式宣布，该项目旨在形式化素数定理（prime number theorem，PNT）的证明，以及伴随而来的复分析和解析数论的支持机制，并计划给出进一步的结果如 Chebotarev 密度定理。」著名数学家陶哲轩在个人博客中写道。

陶哲轩上新项目：Lean中证明素数定理，研究蓝图都建好了

素数定理是数学中的一个重要定理，描述了素数在自然数中的分布规律，该定理在数论中是一个比较重要的研究方向。

形式化证明本质上是一种计算机程序，但与 C++ 或 Python 中的传统程序不同，证明的正确性可以用证明助手（比如 Lean 语言）来验证。举例来说，陶哲轩在论文《A MACLAURIN TYPE INEOUALITY》中给出的证明只有不到一页，但形式化证明使用了 200 行 Lean 语言。

陶哲轩上新项目：Lean中证明素数定理，研究蓝图都建好了

而陶哲轩的合作者 Alex Kontorovich 也是一位非常著名的数学家，现为罗格斯大学数学系特聘教授，主要研究方向是数论。

陶哲轩上新项目：Lean中证明素数定理，研究蓝图都建好了

目前，这两位数学家合作的 Lean 形式化项目「PrimeNumberTheoremAnd」已经上传到 GitHub 上。

陶哲轩上新项目：Lean中证明素数定理，研究蓝图都建好了

项目地址：https://github.com/AlexKontorovich/PrimeNumberTheoremAnd

因为该项目刚建立不久，陶哲轩以及 Alex Kontorovich 还为此构建了一幅蓝图：

陶哲轩上新项目：Lean中证明素数定理，研究蓝图都建好了

蓝图地址：https://alexkontorovich.github.io/PrimeNumberTheoremAnd/web/

可以看出该蓝图包含 5 个部分：

第一部分介绍了项目的首要目标是在 Lean 中证明素数定理。他们表示该问题仍然是 Wiedijk 列出的需要形式化的 100 个定理中突出的问题之一。值得注意的是，PNT 之前已被形式化过，由 Avigad 等人在 Isabelle 中完成。而该项目的目标是将这项工作扩展到级数中的素数（Dirichlet 定理）、Chebotarev 密度定理等等。

目前，完成上述目标可以考虑下面三种方法：

最快的是 Michael Stoll 提出的「欧拉积」项目，该项目对 PNT 的证明只缺少 Wiener-Ikehara Tauberian 定理（对应第二部分）。

第二种是开发一些复分析，包括   residue calculus on rectangles 、 argument principle 和 Mellin 变换，从而得出一个仅包含渐近公式的素数定理（PNT）的证明（对应第三部分）。

第三种方法，也是三种方法中最通用的一种，包括阿达马因子分解定理、Hoffstein-Lockhart 等过程（对应第四部分）。

最后一部分是基本推论。

其实回顾陶哲轩以往的研究，他都多次都提到过 Lean。简单来讲，Lean 是一种可帮助数学家验证定理的编程语言，用户可以在其中编写和验证证明。相比初代 Lean，现在最新的 Lean 4 版本进行了多项优化，包括更快的编译器、改进的错误处理和更好的与外部工具集成的能力等。现在，陶哲轩他们又将该工具用于素数定理的形式化证明，可见 Lean 已成为数学研究中的得力助手。

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