线性层是深度学习中最常用的层之一，在神经网络中起着重要作用。它被广泛应用于图像分类、物体检测、语音识别等任务。本文将重点介绍线性层在多维张量上的作用。
首先，我们来回顾一下线性层的基本原理。对于一个输入张量x，线性层的计算公式如下：
y=Wx+b
其中，W和b分别是线性层的参数，W的形状为(n_out, n_in)，b的形状为(n_out,)。n_in表示输入张量的大小，n_out表示输出张量的大小。假设输入张量是一个一维张量x∈R^n_in，输出张量也是一个一维张量y∈R^n_out。在线性层中，输入张量经过权重矩阵W的线性变换，再加上偏置向量b，得到输出张量y。这个线性变换可以表示为y = Wx + b。其中，W的每一行代表了线性层的一个输出神经元的权重向量，b的每一个元素表示了对应输出神经元的偏置值。最终的输出张量y的每一个元素都是通过对应的输出神经元的权重向量和输入张量进行点积，再加上对应的偏置值得到的。
现在，假设我们有一个多维张量X，它的形状为(n_1,n_2,…,n_k)。我们需要将它传递给一个线性层，以产生一个输出张量Y，它的形状为(m_1,m_2,…,m_l)。这时，我们该怎么做呢？
首先，我们需要将X展平成一个一维张量。这个过程通常被称为“拉平”操作，可以使用PyTorch中的view函数来实现。具体地，我们可以将X的形状变为(n_1\times n_2\times…\times n_k,)，即将所有维度的元素都排成一列。这样，我们就得到了一个一维张量x，它的大小为n_{in}=n_1\times n_2\times…\times n_k。
接下来，我们可以将x传递给线性层，得到输出张量y。具体地，我们可以使用线性层的计算公式：
y=Wx+b
这里，W的形状为(m_{out},n_{in})，b的形状为(m_{out},)，m_{out}表示输出张量的大小。乘法Wx的结果是一个形状为(m_{out},)的一维张量，加上偏置b后，得到形状为(m_{out},)的输出张量y。
最后，我们需要将y转换回多维张量的形式。具体地，我们可以使用PyTorch中的view函数，将y的形状变为(m_1,m_2,…,m_l)。这样，我们就得到了最终的输出张量Y。
需要注意的是，在将多维张量展平成一维张量时，我们需要保证张量中的元素顺序不变。例如，假设我们有一个形状为(2,3)的二维张量X：
X=\begin{bmatrix}1&2&3\4&5&6\end{bmatrix}
我们需要将它展平成一个一维张量。如果我们使用view(-1)来实现，得到的结果将是：
x=[1,2,3,4,5,6]
这里，我们将(1,2)和(4,5)这两行元素排在了一起，导致顺序发生了变化。因此，正确的操作应该是使用view(-1)来展平张量，然后再使用view(1,-1)将其转换回原来的形状：
x=\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6\end{bmatrix}
X=\begin{bmatrix}1&2&3\4&5&6\end{bmatrix}
这样，我们就可以正确地将多维张量传递给线性层，并得到正确的输出张量。
需要注意的是，线性层在多维张量上的作用可以看作是对每个样本进行独立的线性变换。例如，假设我们有一个形状为(N,C,H,W)的四维张量X，其中N表示样本数，C表示通道数，H和W分别表示高度和宽度。我们可以将X沿着第一维度（即样本维度）展开成一个形状为(N,C\times H\times W)的二维张量，然后将其传递给线性层。线性层会对每个样本进行独立的线性变换，得到形状为(N,m_{out})的输出张量Y。最后，我们可以将Y沿着第一维度恢复成原来的形状(N,m_1,m_2,…,m_l)。
总之，线性层在多维张量上的作用可以看作是对每个样本进行独立的线性变换。在实际应用中，我们通常会将多维张量展平成一维张量，然后将其传递给线性层。展平操作需要保证元素的顺序不变，否则会导致计算结果错误。最后，我们需要将输出张量恢复成原来的形状，以便进行下一步计算。
